Some enumerative results for curves (Q569544)

Die Bestimmung der Anzahl der kubischen Raumkurven, die durch \(p\) gegebene Punkte gehen und \(6-p\) gegebene Geraden zu Sehnen haben, ist schon mehrfach gelöst worden (vgl. z. B. \textit{H. F. Baker}, Principles of geometry, vol. III (1923; F. d. M. 48, 686 (JFM 48.0686.*)), p. 139-142). Anschließend hat \textit{F. P. White} für \(p>1\) die Anzahl der rationalen Quartiken im \(R_4\) bestimmt, die durch \(p\) gegebene Punkte gehen und \(7-p\) gegebene trisekante Ebenen besitzen (1929; F. d. M. \(55_{\text I}\), 387). Verf. hat (1931; F. d. M. \(57_{\text I}\), 835) die Anzahl der elliptischen Raumkurven vierter Ordnung mit \(p\) gegebenen Punkten und \(8-p\) gegebene Sehnen angegeben. In der vorliegenden Note bestimmt er (1) die Anzahl \(n_p\) der rationalen normalen Quartiken im \(R_4\) mit drei gegebenen Sehnen, \(p\) gegebenen Punkten und \(3-p\) gegebenen trisekanten Ebenen: \(n_3=n_2=n_1=1\), \(n_0=7\); (2) die Anzahl \(n_{p,q}\) derjenigen Kurven, die der vollständige Schnitt dreier Quadriken im \(R_4\) sind mit \(p\) gegebenen Punkten und \(q\) gegebenen Sehnen; \(p\) und \(q\) sind dabei nicht willkürlich, sondern durch \(3p+4q=36\) verknüpft: \(n_{12,0} = 1\), \(n_{8,3}=3\), \(n_{4,6} = 16\) \(n_{0,9}=876\). - Zum Schluß\ wird eine Formel von \textit{Giambelli} (1902; F. d. M. 33, 572 (JFM 33.0572.*)) neu hergeleitet.