Conformal vector fields on four-manifolds with negative scalar curvature (Q1818767)

Pour une variété riemannienne compacte orientée de dimension 4 dont l'invariant de Yamabe est négatif, l'auteur met en évidence une hypothèse conformément invariante qui assure la non-existence de champs de vecteurs non triviaux définissant une transformation infinitésimale conforme. Cette hypothèse est \(\int|W^+|^2 dV<2\pi^2 (2\chi+3 \sigma) \). \(W^+\) est la partie self-duale du tenseur de Weyl, \(\chi\) la caractéristique d'Euler-Poincaré et \(\sigma\) la signature. Lorsqu'il existe un champ de vecteur conforme \(V\not\equiv 0\), si l'égalité des deux membres a lieu, alors le revêtement universel de la variété est \(\mathbb{R}\times \mathbb{H}_3\) où \(\mathbb{H}_3\) est l'espace hyperbolique de dimension 3; dans ce cas \(|W^+|= \chi= \sigma=0\). Pour la démonstration l'auteur considère la métrique conforme pour laquelle la courbure scalaire \(R=-1\). \(V\) est alors un champ de vecteur de Killing d'après \textit{A. Lichnerowicz} [Géométrie des groupes de transformations, Dunod, Paris (1958; Zbl 0096.16001)]. Il utilisera pour la preuve successivement l'inégalité \(|\nabla V|^2\geq 2\bigl|\nabla |V|\bigr|^2\) en un point où \(V\neq 0\) puis les formules de Weitzenböck et de Chern-Gauss-Bonnet.