Systems of quadratic forms. II (Q1057307)

[For part I see Bull. Soc. Math. Fr., Suppl., Mèm. 59, 115-123 (1979; Zbl 0407.10017).] Ein System von r quadratischen Formen in n Variablen über einem Körper F wird als quadratische Abbildung \(q: V\to W\) aufgefaßt, wobei \(\dim_ F V=n\), \(\dim_ F W=r\) ist. Die bekannten Begriffe äquivalent, isotrop, hyperbolisch (in Zeichen: \(\sim 0)\) aus der Theorie einer Form \((r=1)\) werden passend verallgemeinert. Schließlich heißt q von der Ordnung m, wenn die quadratische Abbildung \(mq=q\oplus...\oplus q\) (m summands):\( V\oplus...\oplus V\) (m summands)\(\to W\) hyperbolisch ist. Ziel der Arbeit ist es, die Invarianten \(u_ r(F)=Max\{\dim V |\) \(\exists q\) anisotrop: \(V\to F^ r\), mq\(\sim 0\) für ein \(m\in {\mathbb{N}}\}\) und \(u'_ r(F)=Max\{\dim V |\) \(\exists q\) anisotrop: \(V\to F^ r\), 2q\(\sim 0\}\) zu studieren. Falls der Körper F nichtreell von der Stufe s ist, gilt (2s)q\(\sim 0\) für jede quadratische Abbildung q (Prop. 4). Ferner gilt dann nach \textit{D. B. Leep} [J. Reine Angew. Math. 350, 109-116 (1984; Zbl 0531.10023)]: \(u_ r(F)\leq (r(r+1)/2) u_ 1(F)\). Für einen reellen Körper F scheint bisher nur \(u'_ r(F)\) angreifbar zu sein. Hauptergebnis der Arbeit ist das Theorem: \(u'_ r({\mathbb{R}})\) ist gerade und erfüllt die Ungleichung 2[2r/3]\(\leq u'_ r({\mathbb{R}})<2r\) für alle \(r\geq 1.\) Inzwischen konnte ich zeigen, daß \(u'_ r(F)<\infty\) gilt für alle r und F, falls nur die notwendige Bedingung \(u_ 1(F(i))<\infty\) erfüllt ist.