Action d'une forme réelle d'un groupe de Lie complexe sur les fonctions plurisousharmoniques (Q1057406)

Soit \(G_{{\mathbb C}}\) un groupe de Lie complexe et \(G_{{\mathbb R}}\) une forme réelle fermée de \(G_{{\mathbb C}}\). Un couple \((G_{{\mathbb C}},G_{{\mathbb R}})\) est dit pseudo-convexe, s'il existe sur \(G_{{\mathbb C}}\) une fonction régulière, strictement p.s.h., invariante par l'action de \(G_{{\mathbb R}}\) et d'exhaustion sur \(G_{{\mathbb C}}/G_{{\mathbb R}}\). On dit que \(G_{{\mathbb R}}\) est à spectre imaginaire pur, si pour tout \(X\) de \(\text{Lie}(G_{{\mathbb R}})\), les valeurs propres de \(\text{ad}\;X\) sont imaginaires pures. Pour \(G_{{\mathbb C}}\) à radical simplement connexe, cette dernière propriété équivaut à la pseudo-convexité de \((G_{{\mathbb C}},G_{{\mathbb R}})\). Pour \((G_{{\mathbb C}},G_{{\mathbb R}})\) pseudo-convexe et sous une hypothèse de sous-groupe discret, il existe sur tout ouvert invariant \(\Omega\) une fonction invariante strictement p.s.h. et d'exhaustion sur \(\Omega /G_{{\mathbb R}}\). Sous les mêmes hypothèses, on a le théorème suivant: Soit \(\Omega\) un ouvert de Stein \(G_{{\mathbb R}}\)-invariant de \(X\times G_{{\mathbb C}}\) et à fibre connexe au-dessus de \(X\). Sa projection sur \(X\) est de Stein, lorsque \(X\) est de Stein. Au chapitre VI, on montre l'inexistence d'une métrique kählérienne invariante sur \(G_{{\mathbb C}}\) lorsque \(G_{{\mathbb R}}\) n'est pas à spectre imaginaire pur. Ce résultat implique l'inexistence d'une métrique kählérienne pour certaines variétés résolubles complexes non compactes.