On the class number of quadratic number fields whose discriminants have only odd prime divisors \(p\equiv 1\bmod 4\) (Q1057934)

In Spezialfällen lassen sich die vom Verf. und \textit{R. Schertz} [J. Number Theory 8, 352--365 (1976; Zbl 0335.12008)] bewiesenen Kongruenzen zwischen Klassenzahlen quadratischer Zahlkörper wesentlich vereinfachen. So lassen sich z.B. unter der Voraussetzung, daß \(D\) ein Produkt aus \(r\) Primzahlen \(p\) mit der Eigenschaft \(p\equiv 1\bmod 8\) ist, die folgenden Kongruenzen zwischen den Klassenzahlen \(h(D)\) und \(h(-D)\) von \(\mathbb Q(\sqrt{D})\) und \(\mathbb Q(\sqrt{-D})\) herleiten: \[ h(-D)\equiv S(\varepsilon) h(D)\bmod 2^{r+2},\quad \text{falls}\;N(\varepsilon)=-1; \] \[ h(-D)\equiv S(\varepsilon /(2\sqrt{D})+\varepsilon -1) h(D)\bmod 2^{r+2},\quad\text{falls}\;N(\varepsilon)=1. \] Hierbei bedeuten \(\varepsilon\) die durch \(\varepsilon >1\) normierte Grundeinheit, \(S\) die Spur und \(N\) die Norm in \(\mathbb Q(\sqrt{D})\). Im Fall \(r=1\), also im Fall \(D=p\equiv 1\bmod 8\) mit einer Primzahl \(p\), folgt daraus in Übereinstimmung mit Ergebnissen von \textit{H. Cohn} und \textit{G. Cooke} [Acta Arith. 30, 367--377 (1976; Zbl 0299.12004)], \textit{P. Kaplan} [ibid. 32, 239--243 (1977; Zbl 0357.12010)] und \textit{E. Lehmer} [J. Reine Angew. Math. 250, 42--48 (1971; Zbl 0222.12007)]: \[ h(-D)\equiv S(\varepsilon)\bmod 8. \]