On the Galois structure of algebraic integers and S-units (Q1057935)

Soit N/K une extension finie galoisienne de corps de nombres de groupe de Galois G. Soit S un ensemble fini de places de N stable par G. On note U le groupe des S-unités de N et X l'ensemble \(\{\) \(\sum_{n\in S}n_ v v\), \(\sum_{v\in S}n_ v=0\}\). En supposant S assez gros, J. Tate a défini une classe canonique \(\alpha\) (N/K,S) dans Ext\({}^ 2_ G\)(X,U) et en a déduit une suite exacte de G-modules de type fini \(0\to U\to A\to B\to X\to 0\) dans laquelle A et B ont une dimension projective finie. L'auteur montre que la classe \(\Omega_ m=(A)-(B)\), dans le groupe de Grothendieck \(K_ 0({\mathbb{Z}}[G])\) classifiant de tels modules, ne dépend ni du choix de A et B dans la suite précédente, ni du choix de S dès que S est assez gros. D'un autre côté, la structure additive de l'anneau des entiers \({\mathcal O}_ N\) de N donne un invariant \(\Omega_ a=({\mathcal O}_ N)- [K:{\mathbb{Q}}]({\mathbb{Z}}[G])\). D'après les travaux de A. Fröhlich \(\Omega_ a\) est déterminé par une relation liant les sommes de Gauss aux résolvantes. L'auteur fait le parallèle avec la théorie additive et la conjecture de J. Tate affirmant que \(\Omega_ m\) est déterminé par une relation liant le premier coefficient du développement en série en \({\mathcal O}\) de la série L d'Artin et la notion de régulateur. Cet article donne une démonstration de cette conjecture dans le cas où \(K={\mathbb{Q}}\), G est abélien de degré premier et la conjecture de Gras est vraie (cette conjecture est maintenant démontrée grâce aux travaux de Mazur et Wiles).