On the Seidel-Newton method for solving quasilinear operator equations (Q1058127)

Gelöst werden soll eine Operatorgleichung der Form \[ Ax+F(x)=0, \tag{1} \] wobei \(A\in L(X,Y)\) ein beschränkter linearer Fredholmoperator ist und F:X\(\to Y\) ein nichtlinearer Operator. X und Y sind Banachräume. Da A Fredholmsch ist, können sie zerlegt werden: \(X=X_ 1\otimes X_ 2\), \(Y=Y_ 1\otimes Y_ 2\), wobei \(X_ 2=Kern(A)\) endlich-dimensional ist, und \(Y_ 1=AX\) ist. Es sei \(\hat A\) die Einschränkung von A auf \(X_ 1\), P die beschränkte lineare Projektion mit \(PY=Y_ 1\), \(PY_2=0\) und \(Q=I-P\) (I Identität auf Y). Dann besteht die Seidel-Newton-Methode zur Lösung von (1) in der Konstruktion einer Iterationsfolge \(\{x_ n\}\) (ausgehend von einem geeigneten \(x_ 0)\) mit folgendem Iterationsschema: \[ u_{n+1}=-\hat A^{-1}PF(x_ n), \quad \tilde x_ n=u_{n+1}+v_ n, \] \[ v_{n+1} = v_ n-[QF'(\tilde x_ n)]^{-1}_{X_ 2}QF(\tilde x_ n), \quad x_{n+1} = u_{n+1}+v_{n+1}. \] Im Spezialfall \(X=X_ 2\) \((A=0)\) ist dies gerade das Newton-Verfahren. In der Arbeit werden unter verschiedenen Zusatzvoraussetzungen - insbesondere Regularitätsvoraussetzungen an F - Konvergenzsätze bewiesen, die aussagen, daß \(x_ n\) gegen eine Lösung von (1) strebt (einschließlich Fehlerabschätzung). Es schließen sich an: Verallgemeinerung auf parameterabhängige Gleichungen \(Ax+\epsilon F(x)=0\) \((\epsilon >0)\), Modifikationen, Anwendungen auf periodische Randwertprobleme, nichtlineare Neumann-Probleme und nichtlineare Integralgleichungen. Dies zeigt, wie weitgehend die Methode ist.