Note über die flache Dimension gewisser Funktionenalgebren über dem reellen Polynomring (Q1058627)

Bekanntlich ist der Ring der Keime von \(C^{\infty}\)-Funktionen im Ursprung des \({\mathbb{R}}^ n\) flach über dem Polynomring \({\mathbb{R}}[x_ 1,...,x_ n]\). Ebenso dürfte bekannt sein, daß dies für den Ring der Keime von \(C^ r\)-Funktionen im Ursprung des \({\mathbb{R}}^ n\) mit \(n\geq 2\), \(0\leq r<\infty\) nicht mehr gilt. Hier wird (für \(0\leq r<\infty)\) gezeigt: (1) Der Ring der Keime von \(C^ r\)-Funktionen bzw. von semialgebraischen \(C^ r\)-Funktionen im Ursprung des \({\mathbb{R}}^ n\) hat als Modul über dem Polynomring die flache Dimension (Tor-Dimension) n-1. - (2) Die Algebra (ohne 1) der flachen \(C^ r\)-Funktionskeime im Ursprung hat (für \(n\geq 2)\) die flache Dimension n-2 über dem Polynomring. Dabei wird ein \(C^ r\)-Funktionskeim f flach genannt, wenn es einen flachen \(C^{\infty}\)-Funktionskeim gibt, der alle \(| D^{\nu}f|\) mit \(\nu \in {\mathbb{N}}^ n_ 0\) und \(| \nu | \leq r\) nach oben beschränkt. Und ein \(C^{\infty}\)-Funktionskeim heißt bekanntlich flach, wenn seine sämtlichen Ableitungen im Ursprung verschwinden.