Über die Darstellung affiner Ketten als Normkurven (Q1059267)

Für eine kommutative Algebra \({\mathcal A}\) sind die Ketten in der affinen Geometrie A(K,\({\mathcal A})\) Normkurven [\textit{H. Havlicek}, Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 53, 266-275 (1983; Zbl 0527.51010)]. Dieses Ergebnis wird hier für beliebige endlichdimensionale Algebren (assoziativ und mit 1) abgeleitet mittels Projektion aus der Darstellung \(\gamma\) von \(\Sigma\) (K,\({\mathcal A})\) auf der Graßmann- Mannigfaltigkeit. Man hat die speziellen Ketten k(a), die aber im wesentlichen zu den übrigen affin äquivalent sind. Anzahl und Vielfachkeit der Schnittpunkte von \(k(a)^{\gamma}\) entsprechen der Anzahl und Vielfachkeit der Wurzeln des charakteristischen Polynoms von \(\rho (a): {\mathcal A}\mapsto {\mathcal A};x\to xa.\) Ihr Schnittverhalten mit dem Projektionszentrum ist so beschaffen, daß das Bild von \(k(a)^{\gamma}\) in A(K,\({\mathcal A})\) dort die uneigentliche Hyperebene entsprechend der Anzahl und Vielfachheit der Wurzeln des Minimalpolynoms von \(\rho\) (a) schneidet. Die Sätze werden an Beispielen und Folgerungen erprobt. Eine Anwendung ergibt eine Darstellung des ''affinen Raumes verallgemeinerter Reguli'' [i.S. von \textit{R. Metz}, Geom. Dedicata 10, 337-367 (1981; Zbl 0453.51003)] ebenfalls durch lauter Normkurven.