An extremal property of rectangular distributions (Q1059326)

Bei einer Stichprobe vom Umfang n seien \(x_ i\) and \(x_ j\) die entsprechenden Ordnungsstatistiken. Es wird gezeigt: \[ \max \{corr(f(x_ i),g(x_ j))| \quad f,g\in {\mathcal L}_ 2\}\leq \rho_{i,j} \] mit \(\rho_{i,j}=\{i(n+1-i)/j(n+1-i)\}^{1/2}\). Dazu werden f und g nach Jacobi-Polynomen entwickelt und x (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) als gleichverteilt auf (0, 1) angenommen. Für allgemeine stetig verteilte x folgt daraus: \(corr(x_ i,x_ j)\leq \rho_{i,j}\).