Gewöhnliche Eigenwertaufgaben zweiter Ordnung, bei denen der Parameter in einer Randbedingung auftritt (Q1059762)

Il est question, pour l'équation différentielle (1) \((1/k)Lu+\lambda u=0\), \(Lu=(d/ds)(p\dot u)-qu\), \(\dot u=du/ds\), considérée sur l'intervalle \(0\leq s\leq a\), et où \(p=p(s)>0\), \(q=q(s)\), \(k=k(s)>0\) sont des fonctions réelles continues à traits, du problème aux limites avec les deux conditions: (2) \(\cos h.u-sen h.p\dot u=0\) pour \(s=0\), où \(0\leq h<\pi\); \((3)\quad \lambda [\alpha_ 1u-\alpha_ 2p\dot u]- (\beta_ 1u-\beta_ 2p\dot u)=0\) pour \(s=a\), où \(\alpha_ 1\), \(\alpha_ 2\), \(\beta_ 1\), \(\beta_ 2\) sont des nombres réels avec \(\alpha_ 1\beta_ 2-\alpha_ 2\beta_ 1=1\); il s'agit de déterminer le spectre et le théorème de développement. L'auteur fait usage de la méthode de H. Weyl (1910), déjà suivie par E. C. Titchmarsh (1946). Soit \(U=U(s,\lambda)\), \(V=V(s,\lambda)\) le système fondamental de (1), tel que soit \(U=1\), \(V=0\), \(p\dot U=0\), \(p\dot V=1\) pour \(s=0\), de sort que, posé \(\theta (s,\lambda)=\cos h.U(s,\lambda)- sen h.V(s,\lambda)\), \(\eta (s,\lambda)=sen h.U(s,\lambda)+\quad \cos h.V(s,\lambda),\) pour \(s=0\) on a \(\theta =\cos h\), \(\eta =sen h\), \(p{\dot \theta}=-sen h\), \(p{\dot \eta}=\cos h\), et pour tout \(\lambda\eta(s,\lambda)\) satisfait à la condition (2). Après cela, si \(\psi(s,\lambda)= \theta(s,\lambda)+ \ell(\lambda)\eta(s,\lambda),\) on peut déterminer \(\ell(\lambda)\) de manière que pour \(x=a\) soit, identiquement en \(\lambda\), \(\lambda[\psi]_{\alpha}]+ (\psi)_{\beta}=0\), où \([\psi]_{\alpha}= \alpha_ 1\psi(a)- \alpha_ 2p(a){\dot \psi}(a)\), \((\psi)_{\beta}=\beta_ 1\psi (a)- \beta_ 2p(a){\dot \psi}(a):\) il suffit \(\ell(\lambda)= - (\lambda[\theta]_{\alpha}+ (\theta)_{\beta})/(\lambda[\eta]_{\alpha}+ (\eta)_{\beta}).\) \(\ell(\lambda)\) est méromorphe, et ses pôles sont \(-\infty <\lambda_ 1<\lambda_ 2<..\). avec \(\ell (\lambda)=(-r_ n/(\lambda - \lambda_ n))+...\), \(r_ n>0\). Dans cette recherche un grand rôle est joué par le vecteur-contour \(P=\{[\phi_ 1]_{\alpha},[\phi_ 2]_{\alpha},...\}\), où \(\phi_ n(s)=\sqrt{r_ n}\eta (s,\lambda_ n)\).