Zur Berechnung der Kapitulation in bikubischen Zahlkörpern (Q1060247)

Für eine endliche Erweiterung \(K/k\) algebraischer Zahlkörper sei \(j_{K/k}: C\ell_ k\to C\ell_ K\) der von der Einbettung der Divisorengruppen induzierte Homomorphismus der Divisorenklassengruppen. In einer grundlegenden Arbeit [J. Reine Angew. Math. 358, 43--60 (1985; Zbl 0562.12009)] beschrieb Verf. die Beziehung von \(\text{Kern}(j_{K/k})\) zur Einheitenstruktur von \(K/k\) und gab lokale Kriterien zur Berechnung von \(\text{Kern}(j_{K/k})\) für zyklische Erweiterungen \(K/k\). Diese Untersuchungen werden nun in dem Spezialfall, daß \(K\) ein galoisscher Zahlkörper 6. Grades mit symmetrischer Galoisgruppe und \(k\) sein quadratischer Teilkörper ist, bis zur Gewinnung expliziter Kriterien weitergeführt. Die dabei hergeleiteten Formeln zur Bestimmung der Einheitenstruktur verallgemeinern ein Resultat von \textit{H. Brunotte}, \textit{J. Klingen} und \textit{M. Steurich} im Falle \(K={\mathbb Q}(^ 3\sqrt{m},\sqrt{-3})\) [Arch. Math. 29, 154--157 (1977; Zbl 0372.12007)] und erlauben die Bestimmung von \(\text{Kern}(j_{K/k})\) für eine von \textit{D. Shanks} untersuchte unendliche Serie von Körpern [vgl. seine Besprechung des Artikels von I. O. Angell, A table of complex cubic fields, Bull. Lond. Math. Soc. 5, 37--38 (1973; Zbl 0261.12007) in Math. Comput. 29, 661--665 (1975)]. Mit Hilfe des lokalen Kapitulationskriteriums wird schließlich \(\text{Kern}(j_{K/k})\) für alle jene Körper 6. Grades \(K\) berechnet, für die die Diskriminante \(d_ L\) des kubischen Teilkörpers \(L\) von \(K\) in den Grenzen \(-20 000<d_ L<100 000\) liegt.