Bifurcation and multiplicity results for nonlinear elliptic problems involving critical Sobolev exponents (Q1060349)

Les AA. étudient l'existence de solutions non triviales pour le problème aux limites: \(-\Delta u-\lambda u-u| u|^{q-2}=0\) dans \(\Omega\) ouvert borné de \({\mathbb{R}}^ n\), \(n\geq 3\); \(u=0\) sur \(\partial \Omega\) (\(\lambda\geq 0)\) lorsque q est l'exposant critique de Sobolev. Ils démontrent que toute valeur propre \(\lambda_ i\) du laplacien est une valeur de bifurcation et donnent une estimation des voisinages de \(\lambda_ i\) où existent des solutions non triviales. Ceci étend un résultat de Brézis-Nirenberg. Ils montrent en outre que le nombre de solutions non triviales est au moins égal à deux fois la multiplicité de la valeur propre. La démonstration consiste d'abord à montrer que la fonctionnelle énergie vérifie une condition de Palais-Smale sur un intervalle, et non pas globalement comme dans le cas d'exposants non critiques, puis à utiliser un résultat abstrait de théorie des points critiques. Les théorèmes restent valables lorsque \(\Omega\) est une variété riemannienne compacte de dimension \(\geq 3\) et \(\Delta\) l'opérateur de Laplace-Beltrami.