Global convergence of nonlinear successive overrelaxation via linear theory (Q1060541)

Die globale Konvergenz des Verfahrens der sukzessiven Überrelaxation (SOR-Methode) zur Minimierung eines nichtlinearen Funktionals \(\phi\) wurde u.a. schon von \textit{S. Schechter} [SIAM J. Numer. Anal. 5, 601-612 (1968; Zbl 0179.227)] untersucht; der Konvergenzbeweis benutzt wesentlich, daß bei jeder Änderung einer Komponente des Iterationsvektors der Wert von \(\phi\) abnimmt. In der vorliegenden Arbeit wird ein anderer Beweis gegeben. Dabei wird vorausgesetzt, daß eine kompakte und nichtleere Niveaumenge \(S_{\gamma}:=\{x\in {\mathbb{R}}^ n:\quad \phi (x)\leq \gamma \}\) existiert, so daß \(f(x):=\text{grad} \phi (x)\) und f'(x) in einer Umgebung von \(S_{\gamma}\) existieren und f'(x) in \(S_{\gamma}\) positiv definit ist. Daraus folgt dann, daß die zu f'(x) gehörige SOR-Iterationsmatrix für alle \(x\in S_{\gamma}\) konvergent ist.