Zur Kantenwinkelsumme der regulären Pyramiden (Q1060704)

Eine regelmäßige (''reguläre'') Pyramide \(P_ n(r,h)\) im euklidischen Raum \({\mathbb{R}}^ 3\) sei bis auf Bewegungen durch ihre Höhe \(h>0\) und den Umkreisradius \(r>0\) ihres regulären Basis-n-Ecks \(B_ n\) (n\(\in {\mathbb{N}}\), \(n\geq 3)\) gegeben. Bezeichnet \(\phi\) bzw. \(\psi\) den Neigungswinkel eines beliebigen Manteldreiecks von \(P_ n\) gegen \(B_ n\) bzw. gegen eines der beiden Nachbarmanteldreiecke, so ist \(\sigma_ n:=\phi +\psi\) der n-te Teil der ''Kantenwinkelsumme'' \(\Sigma_ n\) von \(P_ n.\) Nach einführenden Beispielen (Berechnung von \(\Sigma_ n\) für Pyramiden \(P_ 3\), \(P_ 4\), \(P_ 5\) mit lauter gleichlangen Kanten) wird die Funktion \(\sigma_ n=\sigma_ n(h/r)\) bei festem n genau untersucht - insbesondere auf Monotonieverhalten, Extremwerte und die Grenzwerte für \(h\to 0\) und \(h\to \infty\); \(\sigma_ n\) (und damit auch \(\Sigma_ n)\) zeigt diesbezüglich jeweils für \(n\leq 4\), \(n=5\) und \(n\geq 6\) unterschiedliches Verhalten. Hinweis: In Formel (39) ist 7/2 durch 11/3 zu ersetzen; die in Abschnitt 5 angekündigten Graphen von \(\sigma_ n\) befinden sich nicht ''nachstehend'', sondern auf S. 73 (Figur 3).