Dimension of the support (Q1063145)

Sei X ein komplexer Raum und \(x\in X\). Für eine beliebige Teilmenge S von X wird dim \(S_ x\) definiert als kleinste ganze Zahl d, zu der ein d-dimensionaler analytischer Mengenkeim \(M_ x\) in X mit \(S_ x\subset M_ x\) existiert; weiter sei \(\dim S:=\sup_{x\in X} \dim S_ x.\) Es wird gezeigt: Ist \(S\subset X\) abgeschlossen, so gilt für jede kohärente Garbe \({\mathcal F}\) auf \(X: H^ S_ k(X,{\mathcal F})=0\) für \(k>\dim S\). Daraus folgt, daß \(H_ k(X,{\mathcal F})\to H_ k(X\setminus S,{\mathcal F})\) für \(k=\dim S+1\) injektiv und für \(k>\dim S+1\) bijektiv ist. Außerdem ergibt sich \(Ext_{{\mathcal O}}^{n- k}({\mathcal F},{\mathcal O})=0\) für \(k\geq \dim \sup p {\mathcal F}.\) Weiter wird gezeigt: Ist X ein n-dimensionaler komplexer Raum, der nur endlich viele kompakte irreduzible Komponenten hat, so sind für jede kohärente Garbe \({\mathcal F}\) auf X die topologischen Vektorräume \(H^ c_{n-1}(X,{\mathcal F})\) und \(H^ n(X,{\mathcal F})\) separabel. - Ist \({\mathcal F}\) eine kohärente Garbe auf einem komplexen Raum X, die nur endlich viele linear unabhängige Schnitte mit kompakten Trägern besitzt, so sind \(H^ 1_ c(X,{\mathcal F})\) und \(H_ 0(X,{\mathcal F})\) separabel.