Multiple shooting using interval analysis (Q1064028)

Gegeben ist das lineare Randwertproblem \[ y'(x)=A(x)y(x)+f(x),\quad x\in [a,b],\quad C_ ay(a)=\alpha,\quad C_ by(b)=\beta. \] Dabei bezeichnen A(x) eine \(n\times n\)-Matrix, y(x) und f(x) n-Vektoren, \(C_ a\) eine \(p\times n\)-Matrix und \(C_ b\) eine (n-p)\(\times n\)-Matrix. Teilt man das Intervall [a,b] in m Teilintervalle \(X_ k:=[x_{k-1},x_ k]\), so läßt sich die Lösung y(x) des Randwertproblems in dem Teilintervall \(X_ k\) darstellen durch \(y(x)=y_ k(x)=v_ k(x)+V_ k(x)\xi_ k\) \((k=1(1)m)\). Die \(v_ k(x)\) und \(V_ k(x)\) sind Lösungen entsprechender Anfangswertaufgaben in \(X_ k\), und die n Komponenten der \(\xi_ k\) können aus \(m\times n\) linearen Gleichungen bestimmt werden. Der Autor benutzt diese Methode, um im Falle ungenauer Daten (falls \(A,f,C_ a,C_ b,\alpha,\beta\) Intervalle sind) bekannte Intervallverfahren zur Einschließung der Lösungen von Anfangswertaufgaben anwenden zu können. Die Teilung in m Teilintervalle erfolgt, damit die Radien der Intervalle \(v_ k\) und \(V_ k\) möglichst klein ausfallen. Außerdem werden die \(\xi_ k\) mit Hilfe eines Intervallgleichungssystems berechnet. Diese Methode wird an einem numerischen Beispiel getestet.