On the Morse complex (Q1064593)

Eine differenzierbare reelle Funktion f auf einer vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeit M heißt eine selbstindizierende Morsefunktion, falls f nach unten beschränkt ist, nur nicht ausgeartete kritische Punkte hat, und es eine streng monoton wachsende Folge reeller Werte \((a_{\lambda})_{\lambda =0,1,2,...}\) gibt, so daß in \(]a_{\lambda -1},a_{\lambda}[\) genau ein kritischer Wert \(c_{\lambda}\) liegt, zu dem es nur endlich viele kritische Punkte vom Index \(\lambda\) gibt. Sei \(M_{\lambda}=f^{-1}]- \infty,a_{\lambda}]\). Dann bilden \(C_{\lambda}:=\prod_{\lambda}(M_{\lambda},M_{\lambda -1})\) und der Randoperator \(\partial_{\lambda}: C_{\lambda}\to C_{\lambda - 1}\) der exakten Folge des Tripels \((M_{\lambda},M_{\lambda - 1},M_{\lambda -2})\) den (algebraischen) Morsekomplex. Ähnlich wie beim Zellenkettenkomplex eines CW-Komplexes ist seine Homologie gleich der Homologie von M; denn der Übergang von \(M_{\lambda -1}\) zu \(M_{\lambda}\) geht durch Anheften von Henkeln vonstatten, was homotopietheoretisch auf das Anheften von Zellen hinausläuft. Analog wie beim Zellenkettenkomplex kann man dann auch hier den Randoperator geometrisch durch eine Inzidenzmatrix beschreiben. Der Fall, daß M unendlich dimensional ist, wird in dieser Arbeit besonders angesprochen. Dabei muß man die Existenz einer nach unten beschränkten Morsefunktion voraussetzen, welche die Bedingung (C) von Palais und Smale erfüllt und nur endlich viele kritische Punkte für jeden festen Index \(\lambda\) hat.