Topological obstacles to the existence of conditionally linear integrals (Q1064634)

Sei \({\mathfrak M}=(M,T,U)\) ein natürliches mechanisches System [zur Terminologie und Bezeichnungsweise vgl. \textit{V. I. Arnol'd}, Mathematical methods of classical mechanics (1978; Zbl 0386.70001)], wobei zusätzlich vorausgesetzt sei, daß M eine n-dimensionale kompakte zusammenhängende orientierbare Mannigfaltigkeit und die potentielle Energie U eine Morse-Funktion ist. Für solche \(h\in {\mathbb{R}}\), für die \(M_ h:=U^{-1}((-\infty,h])\) als (berandete und unberandete) Mannigfaltigkeit wohldefiniert ist, beweist der Autor das folgende Resultat: Ist die Eulercharakteristik \(\chi (M_ h)\) negativ, so ist die Anzahl der unabhängigen in Involution stehenden bedingten linearen (ersten) Integrale des (zur Lagrange-Funktion \(L=T-U\) gehörenden) Lagrange- Systems kleiner als [n/2]. Dabei heißt eine Funktion \(f\in C^ 1(TM)\) linear, wenn sie linear in den Geschwindigkeiten ist: \(f|_{TM_ x}\) linear für alle \(x\in M\). Ferner heißt ein (erstes) Integral f bedingt bzgl. des Energiewertes h, wenn \(f(q(t),\dot q(t))\) für jede Lösung q(t) des Lagrange-Systems mit Gesamtenergie h konstant ist. Der Beweis des Satzes erfolgt nach Vorbereitungen (mit Hilfe des Jacobischen Extremalprinzips und einer Umkehrung des Noetherschen Satzes) unter Benutzung einer Arbeit von \textit{S. Kobayashi} [Nagoya Math. J. 13, 63-68 (1958; Zbl 0084.182)], die die Verbindung zur Topologie der Mannigfaltigkeit \(M_ h\) herstellt.