Riemannsche Arealstrukturen und multiquadratische Formen. (Riemannian areal structures and multiquadratic forms) (Q1066473)

Unter einer Arealfunktion vom Typ (n,p) (1\(\leq p\leq n-1)\) versteht Verf. eine Abbildung \(F: {\mathbb{R}}^ n\times {\mathbb{R}}^{pn}\to {\mathbb{R}}\) mit den Eigenschaften: (1) F ist an allen Stellen \((x,X_ 1,...,X_ p)\) mit linear unabhängigen Vektoren \(X_ 1,...,X_ p\) des \({\mathbb{R}}^ n\) positiv sowie mindestens 2 mal stetig differenzierbar und (2) F ist positiv homogen, d. h. es gilt F(x, \(X_ 1,...\), \(X_ p)=\lambda F(x,Y_ 1,...,Y_ p)\), falls \(X_ 1\wedge...\wedge X_ p=\lambda (Y_ 1\wedge...\wedge Y_ p)\) mit \(\lambda\geq 0\) ist. Die Arealfunktion F heißt speziell Riemannsch, wenn die Beziehung \(F^ 2(x,X_ 1,...,X_ p):=\gamma (x)\) \((X_ 1\wedge...\wedge X_ p\), \(X_ 1\wedge...\wedge X_ p)\) mit einer mindestens 2 mal stetig differenzierbar von x abhängenden symmetrischen Bilinearform \(\gamma\) (x) auf dem Quadrat der p-ten äußeren Potenz \(\bigwedge^ p {\mathbb{R}}^ n\) besteht. Verf. leitet als Hauptergebnis den Satz her, daß F sicher dann Riemannsch ist, wenn \({\mathbb{R}}^ 2\) auf dem ganzen Definitionsbereich \({\mathbb{R}}^{n+np}\) 2 mal stetig differenzierbar ist. Hilfsmittel zum Beweis ist die Tatsache, daß ein solches \(F^ 2\) eine ``p-quadratische Form'' ist, welche sich aufgrund rein algebraischer Überlegungen in der o.a. Weise mittels einer geeigneten symmetrischen Bilinearform \(\gamma\) (x) auf \(\bigwedge^ p {\mathbb{R}}^ n\times \bigwedge^ p {\mathbb{R}}^ n\) darstellen läßt.