On Hilbert's 17th problem and real Nullstellensatz for global analytic functions (Q1066965)

Sei M eine reell-analytische Mannigfaltigkeit. Der Verf. beweist folgende Sätze: (1) Sei X eine kompakte irreduzible analytische Menge in M und \(f: X\to {\mathbb{R}}\) eine nirgends negative analytische Funktion. Dann ist f eine Summe von Quadraten meromorpher Funktionen. - (2) Sei \(I\subset {\mathcal O}(M)\) ein endlich erzeugtes Ideal und sei die Nullstellenmenge Z(I) von I kompakt. Dann gilt für das von Z(I) erzeugte Ideal IZ(I): (a) IZ(I)\(=^ R\sqrt{I}\), wobei \({}^ R\sqrt{I}\) das reelle Radikal von I bezeichnet; (b) IZ(I)\(=I \Leftrightarrow I\) ist reell. Zentrales Beweismittel für die Sätze ist die Theorie der totalen Ordnungen von Ringen, vor allem der folgende Satz: Sei \(I\subset {\mathcal O}(M)\) ein Primideal and \(X=Z(I)\). Es existiere ein \(\psi\in I\), derart, daß \(\{\psi =0\}\) kompakt ist. Sind dann \(f_ 1,...,f_ m\in {\mathcal O}(M)\), derart, daß ihre Klassen modulo I in einer totalen Ordnung auf \({\mathcal O}(M)/I\) positiv sind, so ist \(\{f_ 1>0,...,f_ m>0\}\cap X\neq \emptyset.\)