Convergence de certaines séries de Dirichlet à coefficients polynômes (Q1068249)

Pour \(z=(z_ 1,...,z_ n)\in {\mathbb{C}}^ n\) et de même z', on pose \(z\cdot z'=\sum^{n}_{k=1}z_ kz'\!_ k\). Etant donné dans \({\mathbb{C}}^ n\) une suite \((\lambda_ p)_{p\geq 1}\) telle que \(L=\lim \sup (\ln p)/| \lambda_ p|\) soit fini, on considère les séries de Dirichlet de termes généraux \(f_ p(z)=a_ p\exp (- \lambda_ p\cdot z),\) \(F_ p(z)=Q_ p(z)\exp (-\lambda_ p\cdot z),\) où les \(a_ p\) sont des nombres complexes et les \(Q_ p\) des polynomes de degrés \(\mu_ p=O(| \lambda_ p|)\). La fonction \(\delta^*=\lim \sup (\ln | F_ p|)/| \lambda_ p|\) est continue sur le complémentaire de l'ensemble \(Z^*\) des points d'accumulation de zéros des \(Q_ p\); si \(\mu_ p=o(| \lambda_ p|)\), la série \(\sum F_ p\) ne peut converger qu'en un point \(\in Z^*\) ou un point \(\not\in Z^*\) où \(\delta^*\leq o\); elle converge absolument et uniformément sur les compacts disjoints à \(Z^*\) où \(\delta^*<-L\). Le résultat s'applique en particulier à la série \(\sum f_ p\), mais une autre méthode, reprenant la thèse de Siméon (Grenoble 1972), permet de déterminer l'ouvert maximal de convergence absolue de cette série. On compare enfin les domaines de convergence absolue des deux séries lorsque \(a_ p\) est le plus grand des modules des coefficients de \(Q_ p\).