Front d'onde analytique et sommes de carrés de champs de vecteurs (Q1068276)

Les auteurs étudient le front d'onde analytique des solutions d'équations aux dérivées partielles de la forme \(P=\sum^{d}_{j=1}X^ 2_ j\) où \(X_ j\), \(j=1,...,d\), sont des champs de vecteurs réels, à coefficients réels analytiques, définis dans on ouvert \(\Omega\) de \({\mathbb{R}}^ n\). Un théorème bien connu de Hörmander dit que P est hypoelliptique \(C^{\infty}\) dans \(\Omega\) s'il existe un entier \(r\geq 1\) tel que: (*) en tout point \(x\in \Omega\), l'espace tangent \(T_ x{\mathbb{R}}^ n\) est engendré par les \(X_ i\) et leurs crochets de longueur \(\leq r\). Mais cette condition n'est pas suffisante pour que P soit hypoelliptique analytique; il faut rajouter des conditions sur la variété caractéristique \(\Sigma\) de P. Les résultats obtenus par le deuxième auteur [Hokkaido Math. J. 12, 392-433 (1983; Zbl 0531.35022)] s'appliquent à P satisfaisant (*) avec \(r=2\) et donnent l'hypoellipticité analytique ou une propriété de propagation des singularités dans différents cas géométriques. Dans le présent article les auteurs considèrent le cas où (*) est satisfaite avec \(r\geq 3\) en précisant les techniques utilisées par le deuxième auteur. En particulier ils doivent construire des inégalités a priori plus faibles en adaptant les preuves d'inégalités dans le réel; pour cela ils introduisent pour des opérateurs pseudo-différentiels dans le complexe des réalisations dites du type de Bergman, qui permettent facilement de passer à l'adjoint. Ils obtiennent un résultat de propagation de singularités pour une situation générique de la variété \(\Sigma\) dans laquelle (*) est satisfaite à l'ordre \(r=3\). Ils donnent aussi une catégorie d'exemples d'opérateurs hypoelliptiques analytiques vérifiant (*) avec \(r>2\).