On capillary free surfaces without gravity (Q1068282)

\(\Omega\) \(\subset {\mathbb{R}}^ 2\) sei ein einfach zusammenhängendes, beschränktes Gebiet. Gesucht ist eine Fläche S: u\(=u(x)\) über \(\Omega\) mit konstanter mittlerer Krümmung H, die den vertikalen Zylinder durch \(\partial \Omega\) in einem vorgeschriebenen konstanten Winkel \(\gamma\) (0\(\leq \gamma \leq \pi /2)\) schneidet. Dieses Problem führt auf die Gleichung \[ (1)\quad \sum^{2}_{i=1}\frac{\partial}{\partial x_ i}(u_{x_ i}/\sqrt{1+| u_ x|^ 2})=2H\quad in\quad \Omega \] mit der Randbedingung \[ (2)\quad \frac{\partial u}{\partial n}-\cos \gamma \sqrt{1| u_ x|^ 2}=0\quad auf\quad \partial \Omega. \] Durch die Einführung einer Stromfunktion \(\psi\) (x) ergibt sich aus (1) eine Gleichung der Gestalt \[ (3)\quad \sum^{2}_{i,j=1}a_{ij}(P)\psi_{x_ ix_ j}=0\quad in\quad \Omega \quad mit\quad a_{11}=(1-p_ 2)^ 2, \] \[ a_{22}=(1-p_ 1)^ 2,\quad a_{11}=a_{22}=p_ 1p_ 2;\quad p_ 1=\psi_{x_ 1}-Hx_ 2,\quad p_ 2=\psi_{x_ 2}+Hx_ 1. \] Für die Diskriminante von (3) errechnet sich \(d=1-p^ 2_ 1-p^ 2_ 2=:1- F(x,\psi_ x)\), so daß (3) im allgemeinen vom gemischten Typ in \(\Omega\) ist. Der Fall \(\max_{{\bar \Omega}} F<1\), d.h. (3) ist elliptisch, wird untersucht. Es werden Gebiete \(\Omega\) angegeben, für das das Dirichlet-Problem für (3) Lösungen besitzt und es werden Regularitätseigenschaften dieser Lösungen für Gebiete \(\Omega\) mit Ecken bewiesen.