A new kind of eigenfunction expansions on groups (Q1072045)

Eine irreduzible Darstellung \(\pi\) einer liminären lokalkompakten Gruppe G bildet die Gruppenalgebra \(L^ 1(G)\) in die Menge der kompakten Operatoren im Darstellungsraum von \(\pi\) ab, so daß man für ein hermitesches Element \(f\in L^ 1(G)\) eine Spektralzerlegung der Form \(\pi (f)=\sum \alpha_ jE_ j\) erhält. Gilt nun \(E_ j=\pi (e_ j)\) mit \(e_ j\in L^ 1(G)\), so sieht man die Reihe \(\sum \alpha_ je_ j\) als ''Fourier-Reihe'' von f modulo Kern(\(\pi)\) an und fragt, in welchem Sinne \(\sum \alpha_ je_ j\) gegen f konvergiert. Da die klassische Fourier-Reihe einer \(L^ 1\)-Funktion auf dem Torus als Spezialfall dieser Reihe gedeutet werden kann, wird man schwerlich eine allgemeine Antwort auf diese Frage geben können. Der Autor gewinnt jedoch Resultate über die Existenz einer beschränkten Approximation der Eins, ähnlich wie sie im klassischen Fall mit dem Fejér-Kern gegeben ist. Der Autor arbeitet mit verallgemeinerten \(L^ 1\)-Algebren \({\mathcal L}=L^ 1(G,{\mathcal A})\), wobei \({\mathcal A}\) eine bestimmte Unteralgebra der stetigen, im Unendlichen verschwindenden Funktionen auf G sei. In diesem Fall existiert bis auf unitäre Äquivalenz genau eine irreduzible Darstellung \(\lambda\) von \({\mathcal L}\), und die obigen Projektoren \(E_ j\) sind von der Form \(E_ j=\lambda (e_ j)\) mit \(e_ j\in {\mathcal L}\), so daß man für hermitische Elemente \(f\in {\mathcal L}\) eine eindeutige Fourier-Reihe \(\sum \alpha_ je_ j\) erhält. Es wird nun angenommen, daß eine kompakte zusammenhängende abelsche Gruppe K auf \({\mathcal L}\) operiert. Der Autor definiert, wann die Operation von K auf \({\mathcal L}\) radial heißen soll, und zeigt, daß in diesem Fall die K- invarianten Funktionen in \({\mathcal L}\) eine maximale kommutative Unteralgebra bilden. Überdies existiert für \({\mathcal L}\) eine beschränkte Approximation der Eins, bestehend aus K-invarianten Funktionen. Daraus läßt sich eine die Fejér-Summation verallgemeinernde Summationsmethode für K-invariante Funktionen \(f\in {\mathcal L}\) herleiten. Als Beispiel für eine solche radiale Operation wird die Wirkung des n- dimensionalen Torus \(K={\mathbb{T}}^ n\) auf \({\mathcal L}=L^ 1({\mathbb{R}}^ n,{\mathcal A}({\mathbb{R}}^ n))\) angeführt, die mit Hilfe der kanonischen Wirkung von K auf der \(2n+1\)-dimensionalen Heisenberg-Gruppe \({\mathbb{H}}^ n\) definiert wird unter Verwendung der Tatsache, daß \({\mathcal L}\) mit \(L^ 1({\mathbb{H}}^ n)/Kern(\pi_{\lambda})\) identifiziert werden kann, wobei \(\pi_{\lambda}\) die zu \(\lambda \in {\mathbb{R}}^{\times}\) gehörige irreduzible Darstellung von \(L^ 1({\mathbb{H}}^ n)\) sei. Schließlich wird noch das Problem betrachtet, wann die K-invarianten Funktionen in \(L^ 1(G)\) eine kommutative Unteralgebra bilden. Für zusammenhängende nilpotente Liegruppen G gibt der Autor eine vollständige Antwort.