Linear equations over commutative rings and determinantal ideals (Q1073098)

On considère, dans un anneau commutatif unitaire R, le système \(Ax=b\) d'un nombre fini d'équations linéaires scalaires à un nombre fini d'inconnues scalaires. On désigne par \({\mathcal U}_ i(A)\) l'idéal de R engendré par les déterminants des sous-matrices carrées d'ordre i de A, et par \(A| b\) la matrice déduite de A en ajoutant une colonne formée des éléments de b. Lorsque l'anneau R est local, le système admet une solution si, pour chaque entier i, on a les propriétés: \({\mathcal U}_ i(A)={\mathcal U}_ i(A| b)\); l'idéal \({\mathcal U}_ i(A)\) est ou bien réduit à 0, ou bien engendré par un élément de R non diviseur de zéro. Dans le cas général les résultats suivants sont équivalents: le système admet une solution si pour tout i l'on a \({\mathcal U}_ i(A)={\mathcal U}_ i(A| b)\); chaque idéal de R engendré par un nombre fini d'éléments est ''flat'' (c'est-à-dire: A est un anneau de Prüfer).