Arakelov's theorem for abelian varieties (Q1073124)

Sei \(B\) eine zusammenhängende glatte vollständige algebraische Kurve über \(\mathbb C\), und \(S\) eine endliche Menge von Punkten von \(B\). \textit{S. Yu. Arakelov} [Math. USSR, Izv. 5 (1971), 1277--1302 (1972); Übersetzung von Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 35, 1269--1293 (1971; Zbl 0238.14012)] hat gezeigt, daß es nur endlich viele nicht isotriviale (d.i., auch über endlichen Überlagerungen von \(B\) nie konstante) Familien von Kurven über \(B\) mit vorgegebenem Geschlecht \(g\) und guter Reduktion außerhalb \(S\) gibt (Shafarevich-Vermutung über \(B\)). In der vorliegenden Arbeit wird die analoge Aussage für Familien prinzipal polarisierter abelscher Varietäten \(X\to B-S\) von relativer Dimension \(g\) unter der (notwendigen) Bedingung bewiesen, daß sich die Endomorphismen von \(X\) einfach Hodge-theoretisch beschreiben lassen (Bedingung ''(*)''). Im letzten Abschnitt wird ein Beispiel einer nicht konstanten Familie \(X\) über einer Modulkurve konstruiert, die (*) verletzt. Die Beweismethoden sind angeregt von Arakelov's Ansatz und Deligne's Hodge-Theorie [\textit{P. Deligne}, Publ. Math., Inst. Haut. Étud. Sci. 40, 5--57 (1971; Zbl 0219.14007)], enthalten aber für den heutigen Leser schon eine Ahnung der Techniken, die der Autor wenig später für den Zahlkörperfall ausbauen konnte [Invent. Math. 73, 349--366 (1983; Zbl 0588.14026)].