Algebraic independence of certain power series of algebraic numbers (Q1073831)

Sei \(p\) eine Primzahl oder \(\infty\), sei \((a_k)_{k\ge 0}\) eine Folge algebraischer Zahlen \(\ne 0\) und \((e_k)_{k\ge 0}\) eine streng wachsende Folge nichtnegativer ganzer Zahlen; der Konvergenzradius \(R_p\) der Reihe \(\sum_{k\ge 0}a_k z^{e_k}\) sei positiv und in \(\vert z\vert_p<R_p\) sei \(f(z)_p\) ihr Wert. Unter geeigneten Voraussetzungen an die \(a_k\) und \(e_k\) wird für algebraische \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) mit \(0< \vert \alpha_i\vert_p<R_p \), für die \(\alpha_i/\alpha_j\) bei \(i\ne j\) keine Einheitswurzel ist, zunächst (für Primzahlen \(p\)) die algebraische Unabhängigkeit über \(\mathbb{Q}\) aller \(f^{(\ell)}(\alpha_i)_p\) (1\(\le i\le n\); \(\ell \ge 0)\) mittels \(p\)-adischer Methoden gezeigt. Ein weiteres Ergebnis bringt die algebraische Unabhängigkeit der \(f^{(\ell)}(\alpha_i)_p,\) betrachtet als Elemente von \(\mathbb{C}_ p\), in Zusammenhang mit derjenigen der \(f^{(\ell)}(\alpha_i)_q,\) betrachtet in \(\mathbb{C}_q\), falls \(q\) (\(\ne p)\) eine Primzahl oder \(\infty\) ist und \(0< \vert\alpha_i\vert_q<R_q\) (1\(\le i\le n)\) gilt. Schließlich wird für \(f(z)_{\infty}:=\sum_{k\ge 0}z^{k!}\) und algebraische \(\alpha_1\), \(\alpha_2\) mit \(0< \vert\alpha_i\vert_{\infty}<1\) gezeigt: \(f(\alpha_1)_{\infty}\), \(f(\alpha_2)_{\infty}\) sind algebraisch unabhängig genau dann, wenn \(\alpha_1/\alpha_2\) keine Einheitswurzel ist. Dies bestätigt eine Vermutung von D. W. Masser im Falle \(n=2\), die inzwischen (1986) von der Autorin allgemein bewiesen werden konnte.