Inversion de la matrice de Toeplitz en d dimensions et développement asymptotique de la trace de l'inverse à l'ordre d. (Inversion of the Toeplitz matrix in d dimensions and asymptotic development of the trace of the inverse of order d) (Q1074086)

Soit f une fonction intégrable sur le tore d-dimensional et \(C_ m\) les coefficients de Fourier de f \((m=(m_ 1,...,m_ d)\in {\mathbb{Z}}^ d)\). On note par \(\Lambda =\prod^{d}_{j=1}\{0,...,N_ j\}\); \((N_ 1,...,N_ d)\in {\mathbb{Z}}^ d\). Une matrice de Toeplitz associee à f et à \(\Lambda\) est definie par \(T_{\Lambda}(f)=(C_{m-m'})\) où \((m,m')=((m_ 1,...,m_ d),(m'\!_ 1,...,m'\!_ d))\in \Lambda \times \Lambda\). On donne un developpement asymptotique de la trace de \((T_{\Lambda}(f))^{-1}\) lorsque \(| \Lambda | =Card \Lambda\) tend vers l'infini et \(f=| p|^{-2}\) où p est un polynôme trigonometrique. Nous avons le principal results de cet article: \[ Tr(T_{\Lambda}(f))^{-1}=| \Lambda | a_ 0(f)+| \Lambda |^{d-1/d}a_ 1(f)+...+| \Lambda /^{d-k/d}a_ k(f)+...+a_ d(f)+o(1). \] Les \((d+1)\) termes \(\{a_{\ell}(f)\}_{0\leq \ell \leq d}\) sont explicitées. On peut interpreter les coefficients du developpement lorsque \(\Lambda =\lambda \cdot R\), où R est un ''rectangle'' fixe de \({\mathbb{Z}}_+^ d\) \(R=\prod^{d}_{j=1}\{0,...,N^ 0_ j\}\), \(N^ 0_ j\) sont des entiers fixes et \(\lambda\) \(\to \infty\). Alors les termes du developpement s'ecrivent comme: \[ | \Lambda |^{d-k/d}a_ k(f)=\lambda^ k\tilde a_ k(f),\quad k=0,...,d \] et \(\tilde a_ k(f)\) apparaît comme l'integrale d'une mesure positive porteé par la face d'ordre k du ''multirectangle'' R. Un travail en preparation, proposera un developpement identique pour le determinant de \(T_{\Lambda}(f)\) au lieu de la trace. C'est le théorème de Szegö generalisé à l'ordre d.