Remarks on the approximation to an algebraic number by algebraic numbers (Q1076065)

Die Verff. wenden eine in zwei früheren Arbeiten [vgl. \textit{E. Bombieri}, Acta Math. 148, 255-296 (1982; Zbl 0505.10015) und Verff., J. Reine Angew. Math. 342, 173-196 (1983; Zbl 0516.10024)] entwickelte Methode an, um eine algebraische Zahl durch algebraische Zahlen aus einem passenden reellen algebraischen Zahlkörper effektiv abzuschätzen. Dabei ergibt sich der folgende Hauptsatz. Es sei \(\alpha\) eine reelle algebraische Zahl vom Grad \(r\geq 3\) und \(\eta >0\). Dann existieren unendlich viele reelle algebraische Zahlkörper k vom Grad r-1 mit folgender Eigenschaft: Zu jedem \(\epsilon >0\) läßt sich eine Zahl \(c(\alpha,\epsilon)>0\) effektiv berechnen, so daß \[ | \alpha - \beta | >c(\alpha,\epsilon) H_ k(\beta)^{-2-\eta -\epsilon} \] für alle \(\beta\in k\) gilt, wo \(H_ k(\beta)\) die Körperhöhe bedeutet. Die Verff. bemerken, daß man im Falle \(r=3\) eine weitere effektive Aussage über die im Hauptsatz auftretenden algebraischen Zahlkörper mit Hilfe der bekannten von A. Baker gefundenen effektiven Abschätzungen von Linearformen in Logarithmen algebraischer Zahlen beweisen kann.