Paley-Wiener type theorem for certain semidirect product groups (Q1076172)

Ein Satz vom Typ Paley-Wiener wird für die folgenden semidirekten Produkte G einer Vektorgruppe N (als Normalteiler) mit einer zusammenhängenden Liegruppe W bewiesen: Für alle \(w\in W\) bedeute \(\| w\|\) die Norm des Automorphismus \(N\to N\), \(n\mapsto wnw^{- 1}\). Dann wird verlangt, daß für jedes \(\alpha >0\) die Menge aller \(w\in W\) mit \(\| w\| \leq \alpha\) und \(\| w^{-1}\| \leq \alpha\) kompakt ist. (Diese Eigenschaft ist beispielsweise für die Bewegungsgruppen erfüllt.) Der Dualraum wird folgendermaßen konstruiert: Die benötigten Darstellungen operieren alle auf demselben Frèchetraum \({\mathcal C}\), der als projektiver Limes von einer Familie von \(L^ 2\)-Räumen auf W angegeben wird. Jede komplexe Linearform \(\lambda\) auf N liefert dann in kanonischer Weise durch Induktion eine Darstellung \(T^{\lambda}\) von G auf \({\mathcal C}\). Linearformen \(\lambda\) aus derselben Bahn unter der Operation von W liefern dabei äquivalente Darstellungen. Die Fouriertransformation ordnet jeder unendlich oft differenzierbaren Funktion \(f\in C_ 0^{\infty}(G)\) mit kompaktem Träger eine Schar \(\lambda \mapsto T^{\lambda}(f)\) von Operatoren auf \({\mathcal C}\) zu, die in gewissem Sinn stetig, schwach analytisch und mit der Operation von W verträglich ist. Bei der Definition von ''stetig'' und ''schwach analytisch'' werden Differentialoperatoren auf G herangezogen. Umgekehrt rührt jede Operatorenschar mit diesen Eigenschaften von einem geeigneten f her. Nach Einführung einer einfachen Topologie auf dem Raum B dieser Operatorenscharen stellt sich die Fouriertransformation als Isomorphismus von \(C_ 0^{\infty}(G)\) auf B heraus. Im letzten Paragraphen wird gezeigt, daß eine Darstellung \(T^{\lambda}\) operator-irreduzibel ist, wenn die Stabilisatorgruppe von \(\lambda\) in W trivial ist.