Boundary value problems for second order equations of variable type in a half space (Q1076231)

Im Halbraum \((x,y,t)\in (0,\infty)\times {\mathbb{R}}^{n-1}\times {\mathbb{R}}\) werden Randwertprobleme für homogene Gleichungen der Gestalt \[ (*)\quad \partial^ 2u/\partial x^ 2+\sum^{n-1}_{j=1}\partial^ 2u/\partial y^ 2_ j+q(x)\partial^ 2u/\partial t^ 2=0 \] \[ mit\quad \lim_{x\to 0}u(x,y,t)=g(y,t),\quad \lim_{x\to \infty}u(x,y,t)=0 \] behandelt. Hierbei ist q(x) für \(x\in (0,\infty)\) stückweise stetig und kann das Vorzeichen wechseln. Die Gleichung (*) kann somit elliptisch, hyperbolisch oder vom gemischten Typ sein. Des weiteren ist eine der folgenden Bedingungen gefordert \(\underline{\lim}_{x\to \infty}q(x)>0\) oder \(\overline{\lim}_{x\to \infty}q(x)<0.\) Mit Hilfe der Fourier-Laplace Transformation werden Integraldarstellungen der Lösungen in der Form \[ u(x,y,t)=1/(2\pi)^ n\int_{\Gamma}e^{it\tau}\int_{{\mathbb{R}}^{n-1}}e^{iy\eta} E(x,\quad \eta,\tau)\hat g(\eta,\tau)d\eta d\tau \] gewonnen, wobei \(\Gamma\) eine (vom untersuchten Problem abhängende) Kurve in \({\mathbb{C}}\) ist.