Groups with soluble factor groups and projectivities (Q1076800)

Sei G eine Gruppe, \(\phi\) eine Projektivität von G auf eine Gruppe \(\bar G,\) d.h. ein Isomorphismus des Untergruppenverbandes von G auf den von \(\bar G,\) und sei N ein Normalteiler von G. Die Verff. zeigen, daß wenn \(G/N\) auflösbar der Stufe höchstens n ist, also das n-te Glied \(G^{(n)}\) der absteigenden Kommutatorreihe von G in N enthalten ist, dann \(\bar G^{(6n)}\) in \(N^{\phi}\) liegt. Daraus folgt sofort, daß wenn G auflösbar der Stufe n ist, dann \(\bar G\) auflösbar der Stufe \(d(\bar G)\leq 6n-4\) ist. Dies verbessert eine Abschätzung von \textit{B. V. Yakovlev} [Algebra Logika 9, 349-369 (1970; Zbl 0219.20025)], der \(d(\bar G)\leq 4n^ 3+14n^ 2-8n\) gezeigt hatte. Der Beweis des Satzes beruht auf einem Resultat von Menegazzo über Automorphismengruppen endlicher p-Gruppen mit modularem Untergruppenverband und schwierigen technischen Resultaten der beiden Verfasser über Bilder von Normalteilern unter Projektivitäten. Hier verbessern sie in der vorliegenden Arbeit eine ältere Schranke von \textit{G. Busetto} [J. Algebra 88, 52-62 (1984; reviewed above)]: es ist nicht nur N/K sondern auch \(N^{\phi}/K^{\phi}\) auflösbar der Stufe höchstens 3, wenn \(K^{\phi}\) das Herz von \(N^{\phi}\) in \(\bar G\) ist.