Un résultat de Tarski sur les actions moyennables de groupes et les partitions paradoxales. (A result of Tarski on amenable actions of groups and paradoxical decompositions) (Q1084284)

Soit G un groupe agissant sur un ensemble non vide X. Une translation par morceaux est une bijection \(\gamma\) : \(S\to T\), où S et T sont des parties de X, telle qu'il existe \(g_ 1,...,g_ k\in G\) pour lesquels \(\gamma x\in \{g_ 1x,...,g_ kx\}\) quel que soit \(x\in S\). On appelle partition paradoxale du G-ensemble X la donnée d'une réunion disjointe \(X_ 1\coprod X_ 2\) de X et de bijections \(\gamma_ j: X\to X_ j\) \((j=1,2)\) de ce type. Une moyenne invariante sur le G-ensemble X est une fonction \(\mu\) : \({\mathcal P}(X)\to [0,1]\) définie sur l'ensemble des parties de X et vérifiant a) \(\mu (X)=1\), b) \(\mu (S\cup T)=\mu (S)+\mu (T)\) pour S,T\(\subset X\) avec \(S\cap T=\emptyset\), c) \(\mu (gS)=\mu (S)\) pour \(g\in G\), \(S\subset X.\) Les AA. donnent une démonstration directe d'un résultat apparaissant dans un travail de Tarski [\textit{A. Tarski}, Cardinal algebras (1949; Zbl 0041.345)]: Si le G-ensemble X ne possède pas une moyenne invariante, il admet une décomposition paradoxale.