Remarks on boundary behaviour of functions holomorphic on Cartesian products (Q1086395)

Für Gebiete \(D\subset {\mathbb{C}}^ p\) und \(G\subset \subset {\mathbb{C}}^ q\) werden Funktionen \(F: D\times \bar G\to {\mathbb{C}}\) betrachtet, die auf \(D\times G\) holomorph sind und für die zusätzlich gilt: für jedes \(z\in D\) ist F(z,\(\cdot)\) von der Klasse \(C^ k\) (k\(\in {\mathbb{N}}\cup \{\infty \}\cup \{\omega \})\) auf Ḡ. Gefragt wird, ob F auf \(D\times \bar G\) stetig ist [vgl. \textit{E. Ligocka}, Lect. Notes Math. 798, 350-363 (1980; Zbl 0458.32008)]. Es wird gezeigt, daß die Forderung \(''F(z,\cdot)\in C^{\infty}(\bar G)''\) i. A. nicht die Stetigkeit von F auf \(D\times \bar G\) impliziert. Ist im Falle \(G=\Delta \subset {\mathbb{C}}^ 1\) (\(\Delta\) Einheitskreisscheibe) jedes F(z,\(\cdot)\) sogar \({\mathbb{R}}\)-analytisch auf \({\bar \Delta}\), dann ist F bereits holomorph auf einer Umgebung von \(D\times {\bar \Delta}\), also insbesondere stetig auf \(D\times {\bar \Delta}\).