On the structure of a bounded domain with a special boundary point (Q1086397)

In der Arbeit Math. USSR, Sb. 39, 61-86 (1981; Zbl 0464.32014) bemerkte \textit{S. I. Pinchuk}, daß jedes beschränkte pseudokonvexe Gebiet D mit stückweise \(C^ 2\)-glattem Rand einen Randpunkt p mit folgenden Eigenschaften besitzt: es gibt eine offene Umgebung U von p und reellwertige \(C^ 2\)-Funktionen \(\rho_ 1,...,\rho_ k\) (k\(\leq n)\) auf U mit: \((1)\quad \rho_ 1(p)=\)...\(=\rho_ k(p)=0\), 2) \(D\cap U=\{z\in U: \rho_ j(z)<0\) für \(1\leq j\leq k\}\), \(3)\quad ({\bar \partial}\rho_ 1\wedge...\wedge {\bar \partial}\rho_ k)(z)\neq 0\) für alle \(z\in U\), \((4)\quad \sum^{n}_{\alpha,\beta =1}\frac{\partial^ 2\rho_ i}{\partial z_{\alpha}\partial \bar z_{\beta}}(p) X_{\alpha}\bar X_{\beta}\geq 0,\) wenn \(1\leq i\leq k\) und \(X\in {\mathbb{C}}^ n\) mit \(\sum^{n}_{\alpha =1}\frac{\partial \rho_{\nu}}{\partial z_{\alpha}}(p)X_{\alpha}=0\) für \(1\leq \nu \leq k\), \(5)\quad \rho = \sum^{k}_{i=1}\rho_ i + A\sum^{k}_{i=1}\rho^ 2_ i\) ist für eine geeignete Konstante \(A\geq 0\) auf U streng plurisubharmonisch. Solch ein Randpunkt heißt hier ''ein spezieller Randpunkt''. In der vorliegenden Arbeit wird nun in Verallgemeinerung der Resultate von \textit{B. Wong} [Invent. Math. 41, 253- 257 (1977; Zbl 0385.32016)], \textit{J. P. Rosay} [Ann. Inst. Fourier 29, 91-97 (1979; Zbl 0402.32001)] und \textit{S. I. Pinchuk} [Math. Notes 32, 849-852 (1983); translation from Mat. Zametki 32, No.5, 729-735 (1982; Zbl 0576.32004)] gezeigt, daß jedes beschränkte Gebiet im \({\mathbb{C}}^ n\) mit einem speziellen Randpunkt p, das bzgl. p hinreichend viele Automorphismen besitzt, zu einem Siegel-Gebiet \({\mathcal D}({\mathbb{R}}^ k_+,H)\) mit Kegel \({\mathbb{R}}^ k_+\) und \({\mathbb{R}}^ k_+\)- hermitescher Form H biholomorph ist. Gilt für ein Kompaktum \(K\subset D\) sogar \(Aut(D)\cdot K=D\), so ist D biholomorph äquivalent zu einem Produkt von Einheitskugeln. Zudem werden die zusammenhängenden hyperbolischen komplexen Mannigfaltigkeiten beschrieben, die durch biholomorphe Bilder eines beschräkten Gebietes D mit stückweise \(C^ 2\)-glattem Rand von speziellem Typ ausgeschöpft werden können. Als Grundlage für die hier gegebenen Beweise dient die Idee von S. I. Pinchuk, spezielle ''gestreckte'' Koordinatensysteme einzuführen.