Regelflächenscharen. (Flock of ruled quadrics) (Q1086834)

Ist K ein kommutativer Körper, so definiert der K-Vektorraum \(V:=K^ 4\) einen dreidimensionalen pappusschen projektiven Raum \(P^ 3(K)\). Betrachtet werden ''Regelflächenscharen (besser: Regelquadrikenscharen) S in V'', d.h. Mengen solcher Regelquadriken in \(P^ 3(K)\), die (1) zusammen \(P^ 3(K)\) überdecken und (2) paarweise ein und dieselbe Gerade (die dann eindeutig bestimmt ist) als Durchschnitt haben. S gestattet die Darstellung \((3) x_ 1x_ 4-x_ 2x_ 3+ax^ 2_ 1+bx_ 1x_ 2+cx^ 2_ 2=0\) mit a,b,c aus K. Hauptresultat (als Beitrag zum Normalformenproblem): Es gibt eine natürliche Bijektion zwischen den Klassen äquivalenter (d.h. paarweise kollinearer) Regelquadrikenscharen und den Klassen äquivalenter (d.h. paarweise durch eine semilineare Transformation ineinander überführbarer) Faserungen eines Kegels \(x_ 1x_ 3-x^ 2_ 2=0\) durch reguläre, d.h. seine Spitze (0,0,0,1) nicht enthaltende ebene Schnitte. Abschließend werden kurz jene speziellen Regelquadrikenscharen diskutiert, die den Betten-Walker-Ebenen zugrunde liegen; sie existieren im Falle char \(K\neq 3\) genau dann, wenn \(x\in K\to x^ 3\in K\) bijektiv ist.