Gaussian formulae for the calculation of Cauchy principal value integrals and their convergence (Q1087302)

Dans ce mémoire AA. traitent le calcul numérique de l'intégrale à valeur principale suivant Cauchy \(\Phi\) (f;t) qui s'exprime au moyen de la formule \[ \Phi (f;t)=\oint^{1}_{-1}\frac{f(x)}{x-t}w(x)dx,\quad | t| <1, \] l'intégrale étant définie en t moyennant un passage à la limite et w étant une fonction poids \(>0\) et intégrable dans \(I=[-1,+1]\). Le procédé utilisé consiste à substituer à la fonction f un polynôme d'interpolation \(H_ nf\) de degré n. Si par ailleurs on place les noeuds en t et aux zéros de l'élément \(p_ N(x)\) d'un système de polynômes orthogonaux approprié, la relation établie, dite formule de quadrature gaussienne, donne le degré maximum d'exactitude. Les AA. généralisent cette relation. A cet effet ils considèrent d'abord une formule d'intégration mécanique du type de Gauss-Stancu \[ \int^{1}_{- 1}F(x)w(x)dx=\Phi_ m(F)+E_ m(F), \] \(\Phi_ m(F)\) étant la partie principale et \(E_ m(F)\) le terme résiduel. Ils distinguent des noeuds \(a_ i\), \(i=1,...,n\) qui sont imposés et d'autres noeuds \(x_ i\), \(i=1,...,m\) pris aux choix. Posant ensuite \(F(x)=f(x)/(x-t)\) ils transforment le terme résiduel de façon à engendrer un terme d'erreur concernant l'inverse d'un binôme et un autre se rapportant à un quotient, regulier en t. La forme définitive de \(\Phi_ m(f;t)\) est obtenue au moyen d'un polynôme d'interpolation de Lagrange-Hermite. Les AA. considèrent le cas d'un poids de Jacobi \(w^{\alpha,\beta}(x)\), \(\alpha,\beta >-1\), et de noeuds fixes multiples placés en -1 et 1. On suppose que \(f\in C^ 0(I)\) admet certaines propriétés de dérivabilité; quelques théorèmes de convergence sont démontrés, l'un concerne la convergence d'une soussuite \(\Phi_ m^{\alpha,\beta}(f;t)\) vers \(\Phi\) (f;t). Finalement les AA. evaluent numériquement l'intégrale \(\Phi (e^ x;t)\), \(| t| <1\); pour \(m=3\) la précision obtenue est remarquable.