Abschätzungen für \(\sum _{n\leq N}B_ 1(n\alpha)\). (Estimates for \(\sum _{n\leq N}B_ 1(n\alpha)\)) (Q1088707)

Es werden bestmögliche Abschätzungen für \(\sum_{n\leq N}B_ 1(n\alpha)\) gegeben, wobei \(B_ 1(x)=\{x\}-1/2\) das (periodische) erste Bernoulli-Polynom bezeichnet. Der Autor benutzt dafür die Kettenbruchentwicklung von \(\alpha\) und Abschätzungen für Dedekindsche Summen \[ \sigma (p,q,x)=12\sum_{0\leq j\leq q}((\frac{j}{q}))((\frac{pj+x}{q})) \] mit \(x=pN\). Hier ist \(((x))=0\) for ganzes x and \(((x))=B_ 1(x)\) sonst. Die Spezialfälle, daß \(\alpha\) von beschränkter Dichte bzw. quadratische Irrationalzahl ist, werden genauer untersucht.