Gauss-Manin connection of integral of difference products (Q1089473)

L. A. étudie des intégrales de la forme \(\int \Phi dx_{p+1}\wedge...\wedge dx_ N\) où l'intégrand est du type \(\Pi (x_ i-x_ j)^{\lambda_{ij}}\). Comme fonctions de \(x_ 1.,,,x_ p\) ces intégrales satisfont à un système différentiel, la connexion de Gauss-Manin et le but de cet article est d'en donner une expression explicite lorsque les \(\lambda_{i,j}\) satisfont à certaines conditions numériques de généricité. Lorsque les \(\lambda_{i,j}\) sont tous positifs on peut choisir comme cycles d'intégration des compacts \(\Delta\) de \({\mathbb{R}}^ n\), et sinon, les remplacer par leurs régularisés \(\Delta_{reg}\), ce qui revient à un prolongement analytique en \(\lambda\). Ceci amène l'A. à calculer la cohomologie de De Rham ''tordue'' \(H^{N-p}(X,\nabla_{\omega})\), où \(\omega =d Log \Phi\), et plus précisément un système de générateurs sous forme de différentielles logarithmiques. L'expression explicite de la connexion de Gauss-Manin est très technique, en terme de ces générateurs. La démonstration repose sur l'étude de certaines équations différentielles à singularités sur \(P^ 1({\mathbb{C}})\) et s'effectue par récurrence sur la dimension, N- p, des cycles. L'A. établit par ailleurs des énoncés analogues dans le cas symétrique (où l'intégrand est invariant par \(\sigma_{N- p})\).