Dimension des zéros d'une solution faible d'un opérateur elliptique. (Dimension of zeros of a weak solution of an elliptic operator) (Q1089501)

Nous démontrons le résultat suivant: Soit \(u\in H^ 1(\Omega)\), \(u\not\equiv 0\) vérifiant \(| Au| \leq c(| u| +| \nabla u|)\) presque partout, où A est un opérateur elliptique d'ordre 2 à coefficients lipschitziens. Alors l'ensemble sur lequel u s'annule est de mesure nulle. En fait, on démontre un résultat plus précis (en termes de dimension de Hausdorff) en définissant un représentant judicieux de u. Ce résultat repose sur une décomposition de u en une somme d'un polynôme homogène de degré n et d'une fonction \(\Gamma\) qui s'annule (en termes de normes \(L^ 2)\) à un ordre plus grand que n.