On the construction of cusp forms by means of theta series. (Q1090699)

Für die Strukturtheorie der Siegelschen Modulvarietäten \(\Gamma \setminus {\mathbb H}_ n\) \(({\mathbb H}_ n =\) Siegelscher Halbraum \(n\)-ten Grades, \(\Gamma\) eine Kongruenzuntergruppe von \(\text{Sp}(n, {\mathbb Z}))\) ist es von Bedeutung, Spitzenformen von kleinem Gewicht zu konstruieren [siehe \textit{E. Freitag}, ''Siegelsche Modulfunktionen'' (Grundlehren Math. Wiss. 254) Berlin etc.: Springer (1983; Zbl 0498.10016)]. Ein solches Konstruktionsverfahren wurde von \textit{H. Maaß} [Math. Ann. 226, 275--284 (1977; Zbl 0328.10022)] angegeben mittels Thetareihen mit harmonischen Koeffizienten. Um insbesondere Spitzenformen der Gewichte \(k=n-1\) und \(k=n\) zu konstruieren, wendet der Verf. ein etwas anderes Verfahren an, indem er Thetareihen zu ganzen geraden positiven quadratischen Formen der Variablenzahl \(2k\) betrachtet und zusätzlich Charakteristiken zuläßt: \[ \vartheta_ S(Z,\delta) = \sum_{G\in {\mathbb Z}^{(2k,n)}}e^{\pi i\, \text{Spur}((G+\delta /N)' S(G+\delta /N)Z)}, \] wo \(N\) die Stufe von \(S\) bezeichnet und \(\delta \in {\mathbb Z}^{(2k,n)}\) mit \(S\cdot \delta \equiv 0 \bmod N\). Dies liefert im allgemeinen keine Spitzenformen, und der Verf. betrachtet nun für \(\ell \in {\mathbb N}\) gewisse Linearkombinationen von solchen Thetareihen zu \(\tilde S:=\ell \cdot S\), die dann in der Tat unter geeigneten Voraussetzungen an \(\ell\) die gewünschte Spitzenformeneigenschaft haben. Analoge Aussagen gelten für (vektorwertige) Thetareihen mit harmonischen Koeffizienten.