Quadratic fields and factors of cyclotomic polynomials (Q1090709)

Sei \(m>1\) eine ungerade quadratfreie natürliche Zahl, \(m=p_ 1\cdot...\cdot p_ r\) mit Primzahlen \(p_ i\), \(p^*_ i=(\frac{- 1}{p_ i})\cdot p_ i\) \((i=1,...,r)\) und \(K={\mathbb{Q}}(\sqrt{p^*_ 1},...,\sqrt{p^*_ r})\). Sei \(\psi_ m\in K[X]\) das m-te Kreisteilungspolynom über K, und sei \(\zeta\) eine 8. Einheitswurzel. Der Autor beweist eine explizite Formel für \(\psi_ m(\zeta)\) und benutzt diese zur Herleitung einer Klassenzahlrelation vom Typ \[ \sum A_ d\cdot k(d)\equiv A\quad mod 2^{\nu}\quad. \] Dabei ist \(f\in \{0,2,3\}\), \(\nu =1\), falls \(f\neq 3\), \(\nu =2\), falls \(f=3\), und die Summe erstreckt sich über alle quadratischen Diskriminanten \(d<-4\) mit d \(| 2^ fm\); k(d) ist die Anzahl der Klassen im Hauptgeschlecht von \({\mathbb{Q}}(\sqrt{d})\), A und \(A_ d\) sind explizit angegebene ganze Zahlen. Im reellen Fall werden ähnliche Relationen bewiesen; diese enthalten dann allerdings auch die Regulatoren der quadratischen Körper und sind daher nicht mehr von so einfacher Bauart. Die Klassenzahlrelationen im imaginären Fall verallgemeinern die Kongruenzen des Autors und \textit{K. S. Williams}' [Acta Arith. 47, 263-276 (1986; Zbl 0557.12003)]. Die Kongruenzen [J. Number Theory 23, 86-101 (1986; Zbl 0587.12002)] wurden vom Autor zwar mit denselben Methoden bewiesen und stimmen in Spezialfällen mit den hier angegebenen überein, sind jedoch in ihrer Allgemeinheit von anderem Typ.