Resolution directe des systemes algébriques par approximations. (Direct solution of algebraic systems by means of approximations) (Q1093325)

Les systèmes algébriques qui sont de la forme \(A^*u=v\), interviennent à propos de nombre de problèmes de physique. On obtient une solution, si la matrice \(A^*\) est régulière. Souvent \(A^*\) dépend de la solution u, ce qui entraîne l'inversion répétée de la matrice. La résolution directe d'un système se base en général sur la triangularisation de la matrice qui se fait par exemple par la méthode du pivot. L'A. met l'équation proposée sous une forme qu'on donne à une équation scalaire en vue d'appliquer un procédé d'approximations successives. La résolution a trait désormais à la matrice \(A'=A^*-I\). Le problème peut-être traité en continu au moyen du calcul analogique ou être discrétisé, ce qui implique des grandeurs numériques. Les schémas synoptiques des deux méthodes sont indiqués. Dans la seconde le vector u se calcule de façon itérative. Pour étudier la stabilité du procédé, l'A. utilise une méthode de perturbation. Il apparaît un opérateur G, qui peut être approché par un opérateur de retard pur dans le cas numérique. Afin d'examiner la convergence de la méthode, l'A. introduit un coefficient d'amplification dans l'expression de l'erreur. La considération de la vitesse de convergence conduit à une formule d'inclusion pour le nombre p d'itérations requises, qui est reliée au critère d'arrêt. L'A. conçoit la construction d'un processeur destiné à résoudre des systèmes linéaires dont la matrice est à coefficients constants. La méthode indiquée est transposée au traitement des systèmes algébriques à coefficients variables. La performance du procédé est estimée moyennant les temps de calcul pour une matrice r-diagonale et justifie la réalisation d'un processeur câblé spécialisé. Un tel processeur existe et est un élément de l'ordinateur hybride installé à l'Université de Nancy I.