Description of geometric spaces as fibered structures (Q1093893)

Verf. setzt seine Untersuchungen über nichtkommutative Geometrie fort [vgl. etwa J. Geom. 25, 147--163 (1985; Zbl 0581.51008)] fort: Ein (nichtkommutativer geometrischer) Raum ist eine Struktur \((X,<,>_ X,R)\) mit \(<,>_ X:\) \(X^ 2\twoheadrightarrow R\), \((x,y)\mapsto <x,y>_ X\). Ein gefaserter Raum (geometrisches Bündel) setzt sich zusammen aus \(\pi\) : \(E\twoheadrightarrow X\) und geometrischen Räumen auf \(X\) und jeder Faser \(\pi^{-1}(x)\). Setzt man \(<u,v>_ E:=<u,v>_{\pi^{- 1}x}\) für \(\pi u=\pi v\) und \(=<\pi u,\pi v>_ X\) sonst, so wird \(E\) selbst zu einem geometrischen Raum. Ein Beispiel ist durch die triviale Faserung gegeben, in der \(E=X\times F\) (\(F\) typische Faser) und \(\pi =pr_ 1\) gesetzt wird. Weitere wichtige Beispiele sind die Gruppenfaserungen zu einer Gruppe \(G\) mit neutralem Element 1 [vgl. auch der Autor, Arch. Math. 49, 134--140 (1987; Zbl 0648.51004)]. Hier ist \(X=G\), \(<x,y>_ G=xy^{-1}\) und \(<u,v>_{\pi^{-1}x}=1\) für \(\pi u=\pi v=x\), d.h. alle Fasern bilden zueinander parallele Geraden. Eine Reihe von Beispielen wird gebracht, die fruchtbare Anregungen zur Weiterarbeit auf diesem Gebiet geben (z.B. nichtkommutative Räume zu hyperbolischen Ebenen und zu Vektorraumbündeln über Mannigfaltigkeiten). Zum Schluß werden einige Probleme (z.B. im Zusammenhang mit der Grothendieck-Gruppe) gestellt.