Über Kennzeichnungen endlicher Gruppenräume. (On characterizations of finite group spaces) (Q1093897)

Sei \({\mathcal R}=(x,<,>,F)\) ein \((LP)_ 0\)-Raum im Sinne vn \textit{J. Pfalzgraf} [J. Geom. 25, 147-163 (1985; Zbl 0581.51008)], \(q\in {\mathbb{N}}\) und \(x_ 0,x_ 1,...,x_ q,x_ 0',x_ 1'\in X\) mit \(<x_ 0,x_ 1>=<x_ 0',x_ 1'>\). Die Schließungsaussage \(Sim_ q(x_ 0,x_ 1,...,x_ q,x_ 0',x_ 1')\) besagt die Existenz von \(x_ 2',...,x_ q'\in X\) mit \(<x_ i,x_ j>=<x_ i',x_ j'>\) für i,j\(\in \{0,...,q\}\). Wir sagen, im Raum \({\mathcal R}\) gelte die q-Simplex-Aussage \(Sim_ q\), wenn \(Sim_ q(x_ 0,x_ 1,...,x_ q,x_ 0',x_ 1')\) für alle \(x_ 0,...,x_ q,x_ 0',x_ 1'\in X\) mit \(<x_ 0,x_ 1>=<x_ 0',x_ 1'>\) gilt. Die Aussagen \(Sim_ q(q\in {\mathbb{N}})\) bilden eine Folge von Schließungsaussagen, die insbesondere die Bedingungen von Veblen, Tamaschke und Desargues als Spezialfälle enthalten. So: In einem Desarguesschen affinen Raum gelten alle \(Sim_ q\). Ein Raum \({\mathcal R}\) mit \(Sim_ 2\) heißt schiefaffin. Ein Raum \({\mathcal R}\) heißt ein Gruppenraum, wenn durch Permutationsgruppen G auf X vermöge F als die Menge der Bahnen von G auf \(X^ 2\) (G operiert auf \(X^ 2\) auf natürliche Weise) und \(<x,y>\) als G(x,y) definiert sind. Der Autor erhält eine folgende geometrische Kennzeichnung: Ein endlicher \((LP)_ 0\)-Raum \({\mathcal R}\) ist genau dann Gruppenraum, wenn \(Sim_ q\) für alle \(q\in {\mathbb{N}}\) (es genügt sogar \(q\leq | X|)\) gilt. Ein endlicher \((LP)_ 0\)-Raum heißt taktisch, wenn alle seine (echten) Linien gleich viele Punkte besitzen. Diese gemeinsame Zahl ohne 1 heißt Ordnung des Raumes. Das folgende Theorem wird bewiesen: Ein taktischer schiefaffiner Raum einer Ordnung \(\geq 3\), der nichttriviale Unterräume enthält, ist genau dann ein Gruppenraum, wenn er sich echt in einen ebensolchen Raum einbetten läßt.