Limite d'hypersurfaces localement convexes. (Limit of locally convex hypersurfaces) (Q1093937)

La majeure partie de cet article est consacrée à la preuve du théorème suivant: `` Soit \((f_ n)\) une suite d'immersions localement convexes d'une variété V de dimension p-1, dans un espace à courbure constante \(K_ 0\) et de dimension p, telle que: (i) la suite \((f_ n)\) converge uniformément sur tout compact vers une application \(f_ 0\); (ii) la suite de métriques \((d_ n)\) induites par \((f_ n)\) est à courbure sectionnelle uniformément majorée et converge \(C^{1,1}\) vers une métrique \(d_ 0\). Soit x un point dégénéré. Il existe alors une hypersurface W de V totalement géodésique pour \(d_ 0\), telle que: (a) \(x\in W\) et \(\partial W\) inclus dans \(\partial V\); (b) tous les points de W sont dégénérés; (c) \(f_ 0\) est une isométrie de W dans un sous- espace totalement geodésique de M. De plus, il existe une sous-suite \((f_{\Phi (n)})\) de \((f_ n)\), telle que pour toute suite de vecteurs tangents \((u_ n)\) à V convergeant vers un vecteur tangent u à W et \(Df_{\Phi (n)}(u_ n)\) converge vers \(Df_ 0(u).\)''