Diagonalen in Simplizialkomplexen. (Diagonals in simplicial complexes) (Q1094673)

Gehören die Seiten eines Simplex S zu einem Simplizialkomplex \({\mathcal C}\), aber S selbst nicht, dann heißt S Diagonale von \({\mathcal C}\). Diagonalen spielen in der kombinatorischen Theorie der Polytope eine Rolle, neuerdings wird das Interesse daran durch Anwendungen in der Theorie der Stanley-Reisner-Ringe sowie der Matroidtheorie stimuliert. Verf. legt eine erste systematische Studie von Diagonalen vor, wobei die Diagonalenbildung als Operator für \({\mathcal C}\) aufgefaßt wird. Eine scharfe untere Schranke für die Diagonalenzahl \(\beta\) beliebiger Simplizialkomplexe - und damit die erste Bettische Zahl der zugehörigen Stanley-Reisner-Ringe - wird angegeben (\({\mathcal C}\) ein beliebiger simplizialer (d-1)-Komplex mit v Ecken): \[ \beta ({\mathcal C}) \geq [\frac{v}{2}]\cdot (v - \frac{d}{2}([\frac{v}{d}] + 1)). \] Ebenso werden eine obere Schranke gewonnen sowie Abschätzungen für die Facettenzahlen von Simplizialkomplexen. Auch Sätze über die Beziehung zum Steinitz-Problem einer Kennzeichnung der Randkomplexe konvexer Polytope werden bewiesen, insbesondere unter Verwendung von Schnitten und Projektionen von Simplexen.