Zur Vervollständigung natürlich angeordneter cartesischer Gruppen. (On the completion of naturally ordered Cartesian groups) (Q1096656)

(C,\(+,\cdot,<)\) heißt angeordnete cartesische Gruppe, wenn \((C,+)\) eine Gruppe ist, zu a,b,c\(\in C\) mit \(a\neq b\) stets x,y\(\in C\) mit \(- ax+bx=c\), \(ya-yb=c\) existieren, das neutrale Element 0 (von \(+)\) \(x\cdot 0=0=0\cdot x\) für alle \(x\in C\) erfüllt, \(\cdot\) ein neutrales Element \(1\neq 0\) besitzt und \(<\) eine lineare Ordnungsrelation C mit \(a<b\Rightarrow a+c<b+c\), \(c+a<c+b\), und \(a<b\), \(d<c\Rightarrow ac-ad<bc- bd\) ist (Schreibfehler in (M1) der Definitionö). Mit der Betragsdefinition \(| a| =\max (a,-a)\) wird die archimedische Äquivalenz \(\sim\) in C definiert durch: \(a\sim b\Leftrightarrow\) Es gibt \(n\in {\mathbb{N}}\) mit \(| b| <n| a|\) und \(| a| <n| b|.\) Die angeordnete cartesische Gruppe heißt natürlich angeordnet, wenn für alle a,b,c,d\(\in C\) gilt: (a-b)\(\cdot (c-d)\sim ac-ad+bd-bc\), und ab\(\sim a\Rightarrow b\sim 1\). Auf natürlich angeordnete cartesische Grupen wird das Cantorsche Verfahren zur Konstruktion des stetigen Abschlusses eines angeordneten Körpers übertragen.