Solutions globales de systèmes quasi linéaires du second ordre. (Global solutions of second order quasilinear systems) (Q1097413)

En vue d'applications en relativité générale, on étudie sur \(V\) \(T_ 4=]-\infty,T[\times {\mathbb{R}}^ 3,\) \(T\in {\mathbb{R}}\), les systèmes de la forme \[ (I)\quad g^{\lambda \mu}(u)\partial^ 2_{\lambda \mu}u_{\alpha \beta}+h_{\alpha \beta}(u).\quad \nabla u\otimes \nabla u=\rho_{\alpha \beta} \] où \(g=\eta +u\) (\(\eta\) métrique de Minkowski), \(h_{\alpha \beta}\) fonction vectorielle analytique au voisinage de \(u=0\); \(\nabla u=(\partial_{\lambda}u_{\alpha \beta})\); \(\rho_{\alpha \beta}\) donné. Il existe un nombre \(\epsilon_ 0\in]0,1[\) tel que, pour \(| u| <\epsilon_ 0\), le système (I) est globalement hyperbolique sur \(V\) \(T_ 4\). On commence par étudier le système: \[ (II)\quad g^{\lambda \mu}(u)^ 2_{\lambda \mu}u_{\alpha \beta}=\rho_{\alpha \beta} \] pour lequel on établit des inégalités énergétiques à priori. On déduit des résultats de Leray-Dionne, en prenant \(\rho_{\alpha \beta}\) tendant vers 0 à l'infini temporel passé, l'existence de solutions globales u pour (II), tendant aussi vers 0 à l'infini temporel passé. On en déduit alors l'existence de solutions globales u pour (I), ayant les mêmes propriétés, en utilisant le théorème du point fixe.